✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)

Méthode

Lorsqu'on rencontre une indétermination dans un quotient avec le  numérateur et le  dénominateur qui tendent vers 0, on peut penser à la limite d'un taux de variation d'une fonction.

Énoncé

Déterminer \(\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}\) .

Solution

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=x^7\) .
\(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel \(x,\ f'(x)=7x^6\) .
En particulier \(f\)  est dérivable en \(1\)  donc \(\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=f'(1)\) .
Ainsi \(\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=7\) .